main.tex (13701B)
1 \documentclass[a4paper]{article} 2 3 \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} 4 5 \usepackage{mathptmx} 6 7 \usepackage[a4paper, total={6in, 8in}]{geometry} \usepackage{subcaption} 8 \usepackage[shortlabels]{enumitem} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} 9 \usepackage{mathtools} \usepackage{braket} \usepackage{bbm} 10 \usepackage{graphicx} \usepackage{float} 11 \usepackage[colorlinks=true,naturalnames=true,plainpages=false,pdfpagelabels=true]{hyperref} 12 \usepackage[parfill]{parskip} \usepackage[backend=biber, 13 sorting=none]{biblatex} \addbibresource{uni.bib} \pagestyle{myheadings} 14 \markright{Popovic, Vogel\hfill Symmetriegruppen von Differentialgleichungen 15 \hfill} 16 17 \title{Universität Wien\\ Fakultät für Physik\\ \vspace{1.25cm}Laborpraktikum 18 Theoretische Physik 2021S \\ Symmetriegruppen von Differentialgleichungen } 19 \author{Milutin Popovic \& Tim Vogel \vspace{1cm}\\ Betreuer: Olaf Krüger} 20 \date{6. Juni, 2021} 21 22 \begin{document} 23 \maketitle 24 \tableofcontents 25 \section{Grundlagen} Die Symmetriegruppe einer 26 Differentialgleichung, oder eines Systems von Differentialgleichungen, ist 27 eine Gruppe von Transformationen, die auf die abhängigen und unabhängigen 28 Variablen wirkt und die es ermöglicht, aus einer Lösung der 29 Differentialgleichung(en) andere Lösungen zu konstruieren. Es existiert ein 30 expliziter Weg, die Symmetriegruppe einer oder mehrerer 31 Differentialgleichungen zu finden, der in diesem Protokoll vorgestellt und 32 auf die Fokker-Planck Gleichungen angewandt wird. Bis dorthin müssen 33 allerdings einige Bergrillfichkeiten erklärt und hergeleitet und die 34 mathematische Basis geschaffen werden. Bevor wir mit der Symmetriegruppe von 35 Differentialgleichungen beginnen, wird das Konzept anhand von Symmetrien von 36 Gleichungen eingeführt und erläutert. \subsection{Symmetrien von 37 Gleichungen} Wir betrachten zunächst eine glatte, reele, differenzierbare 38 Funktion $F(x)$, die auf einer beliebigen Mannigfaltigkeit $M$ definiert ist. 39 Sei nun $x$ eine Lösung der Gleichung: 40 \begin{equation} F(x)=0 41 \end{equation} 42 Die Symmetriegruppe $G$ dieser Funktion, ist nun eine Transformation auf 43 $M$, die aus der Lösung $x$ andere Lösungen dieser Gleichung 44 bereitstellen kann. Ist als $g$ ein Element dieser Gruppe, so fordern 45 wir: 46 \begin{equation} F(g\cdot x)=0 47 \end{equation} 48 Damit löst auch 49 $g\cdot x$ die Gleichung, und wir erhalten eine neue Lösung. 50 Betrachten wir hierzu ein kurzes Beispiel: Gegeben sei die Funktion 51 $F(t,x)=ct-x=0$ und eine Translation als Transformation 52 $(t,x)\rightarrow (t+\epsilon,x+c\epsilon)$ Und somit ergibt sich als 53 Lösung: 54 \begin{equation} F(g\cdot t,g\cdot 55 x)=c(t+\epsilon)-(x+c\epsilon)=ct-x=0 56 \end{equation} \newline 57 58 Betrachten wir nun das Folgenede: $G^i_\epsilon$ ist eine 59 Symmetriegruppe einer Gleichung $F(x)=0$. Dann folgt daraus 60 61 \begin{equation} 62 \frac{d}{d\epsilon}\biggl|_{\epsilon=0}G^i_\epsilon 63 F(x)=0 \end{equation} Wir definieren nun: \begin{equation} 64 v_i=\frac{d}{d\epsilon}\biggl|_{\epsilon=0}G^i_\epsilon 65 \end{equation} 66 Und nennen $v_i$ einen Generator der Symmetriegruppe. 67 Diese infinitesimale Betrachtung wird einen essentiellen Teil dazu 68 beitragen, die Symmetriegruppen von Differentialgleichungen zu 69 ermitteln und nimmt daher eine sehr wichtige Rolle ein. 70 \section{Differentialgleichungen und der Jet-Space} Wenden wir die 71 Methoden der vorherigen Sektion nun auf Differentialgleichungen an, 72 kommen wir schnell auf die folgende Definition: Betrachten wir eine 73 Differentialgleichung $F(t,x,u)$, in welcher $u$ eine abhängige 74 Variable ist, und gibt es eine Transformationsgruppe $G$ mit 75 Elementen $g$ und löst $u=f(x)$ diese Differentialgleichung, so löst 76 auch $u=g\cdot f(x)$ diese Gleichung. \newline Wir wollen nun auch 77 hier die infinitesimale Komponente miteinbringen. Hierfür betrachten 78 wir die Punkte $(t,x,u)\in X\times U$. Hier sind $t,x$ unabhängige 79 und $u$ abhängige Variablen. Das bedeutet, der Raum $X\times U$ 80 beschreibt genau diese Variablen. Das heißt, für die infinitesimalen 81 Komponenten, müssen wir diesen Raum "prolongieren", indem wir auch 82 die verschiedenen partiellen Ableitungen der Variablen 83 berücksichtigen. Dies funktioniert wie folgt: Gibt es eine Funktion 84 $U=f(x)$, sodass $f: X\rightarrow U$, so existiert eine weitere 85 Funktion $u^{(n)}=pr^{(n)}f(x)$, die wir die n-te Prolongation von 86 $f$ nennen, die definiert ist, als: \begin{equation} 87 u^\alpha_f=\partial_f f^\alpha(x) \end{equation} Dies bedeutet, dass 88 die Prolongation eine Funktion von $X$ nach $U^{(n)}$ ist und für 89 jedes $x$ ind $X$ die Werte von $f$ und die Werte aller Ableitungen 90 von 1 bis n an der Stelle $x$ repräsentiert. Zum Beispiel ergibt die 91 zweite Prolongation von $f(t,x)=u$: 92 \begin{equation} 93 pr^{(2)}f(t,x)=(u;u_t,u_x,u_{tt},u_{tx},u_{xx})=(f;\frac{\partial 94 f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial^2 95 f}{\partial t^2},\frac{\partial^2 f}{\partial t\partial 96 x},\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}) 97 \end{equation} 98 Der Raum 99 $X\times U^{(n)}$, in dem die abhängigen und unabhängigen 100 Variablen enthalten sind und die partiellen Ableitungen der 101 abhängigen Variablen, wird der n-te Jet-Space genannt. \newline 102 Dies bedeutet also, dass wir für jede Ableitung, eine 103 Koordinatenachse hinzufügen, und die Differentialgleichung somit 104 sowohl abhängig von ihren Variablen, als auch von deren (n-ten) 105 Ableitungen machen. Ein System von Differentialgleichungen kann 106 somit auch als Untervarietät des Jet-Spaces beschrieben werden. 107 \section{Prolongation von Gruppenwirkungen} Ähnlich wie zuvor, 108 kann eine Prolongation auch auf die Gruppen von Transformationen 109 bzw. Gruppenwirkungen angewandt werden und wird als $pr^{(n)} G$ 110 notiert. Hierbei werden die Ableitungen der Funktionen $u=f(x)$ 111 in die jeweils gleichen Ableitungen, der transformierten Funktion 112 $\Tilde{u}=\Tilde{f}(\Tilde{x})$ überführt. Ein wichtiger Aspekt 113 ist, dass die erste Prolongation von $G$ etwa, genauso auf den 114 Punkt $(x,u)$ wirkt, wie G selbst. Einzig die Wirkung auf $u_x$ 115 bietet neue Information. Dies ist allgemein gültig, ergo 116 unterscheiden sich nachfolgende Prolongationen immer nur in ihren 117 letzten Einträgen. \newline Diese Prolongation bietet uns nun 118 folgende Möglichkeit: Existiert eine Symmetriegruppe $G$, die 119 Lösungen einer Differentialgleichung in andere Lösungen 120 überführt, und wird diese Differentialgleichung durch eine 121 Untervarietät im zugehörigen Jet-space beschrieben, so ist $G$ 122 eine Symmetriegruppe dieser Differentialgleichung, wenn sie die 123 Untervarietät invariant lässt. Dadurch lässt sich das finden 124 einer Symmetriegruppe einer Differentialgleichung im Großen und 125 Ganzen darauf reduzieren, heruaszufinden, ob eine Gruppe von 126 Transformationen diese Varrietät unverändert lässt. Über diesen 127 Weg, können wir das Problem ähnlich behandeln, wie das zuvor 128 beschriebene finden von Symmetriegruppen von Gleichungen. 129 \section{Finden von Symmetriegruppen einer Differentialgleichung} 130 Wir verwenden die infinitesimale Betrachtungen aus Sektion 1.1, 131 und beginnen mit einem beliebigen Vektorfeld: 132 \begin{equation} 133 \label{eq:ansatz} 134 v=\tau (t,x,u)\frac{\partial}{\partial t}+\xi 135 (t,x,u)\frac{\partial}{\partial x}+\phi 136 (t,x,u)\frac{\partial}{\partial u} 137 \end{equation} 138 Wir lösen nun 139 ein System von einfacheren partiellen Differentialgleichungen um 140 die Funktionen $\tau , \xi und \phi$ zu ermitteln. Nun wollen wir 141 das eben ermittelte Vektorfeld prolongiern. Dies funktioneirt mit 142 folgender Formel, die hier nciht näher hergeleitet werden will: 143 \begin{equation} 144 pr^{n}v=v+\sum_{J:1\leq |J|\leq 145 n}\phi^J(t,x,u)\frac{\partial}{\partial u_J} 146 \end{equation} 147 J ist 148 in diesem Falle ein Multiindex, der sämtliche $1-(n-te)$ 149 partielle Ableitungen durchläuft. Die Koeffizienten 150 $\phi^J(t,x,u)$ sind rekursiv definiert: 151 \begin{equation} 152 \phi^{Jk}=D_k\phi^J-u_{Jt}D_k\tau-u_{Jx}D_k\xi 153 \end{equation} 154 mit 155 den vollständigen Ableitungen: $$D_t=\frac{\partial}{\partial 156 t}+u_t\frac{\partial}{\partial u},\,\, 157 D_x=\frac{\partial}{\partial x}+u_x\frac{\partial}{\partial u}$$ 158 \newline So findet man einen Satz unabhängiger Vektorfelder 159 $v_i$, die als die Generatoren einer Lie-Algebra funkgieren. 160 Schließlich kann für jedes Vektorfeld die Gruppenwirkung mithilfe 161 von Charakteristiken ermittelt werden, damit gilt: 162 163 \begin{equation} 164 g_\epsilon(t,x,u)=(\Tilde{t},\Tilde{x},\Tilde{u}) 165 \end{equation} 166 Und somit können Lösungen für Differentialgleichungen mithilfe 167 von Symmetrien gefunden und berechnet werden. 168 \section{Fokker-Planck Gleichung} 169 Im folgenden werden wir versuchen die Symmetrieüberlegungen aus dem 170 vorherigen Kapiteln auf die Fokker-Planck anzuwenden: 171 \begin{align} 172 -u_t + u_{xx} + xu_x + u_t = 0 173 \end{align} 174 Für diese Gleichung können wir im Jetspace schreiben $F(t, x, u, u_t, u_{x}, 175 u_{xxx}) = 0$. Um die Vektorfeldbasis, die diese Differentialgleichung 176 genereiert, zu finden wählen wir den Ansatz aus Gleichung \ref{eq:ansatz}, 177 für Funktionen $\xi(t,x,u),\tau(t,x,u)$ und $\phi(t,x,u)$. Danach wenden 178 wir die 2-te Prolongation des Vektorfeldes auf die Fokker-Planck Gleichung an 179 \begin{align} 180 \text{pr}^{(2)}vF=vF + \phi^x \partial_{u_x}F+\phi^t\partial_{u_t}F 181 +\phi^{xx}\partial_{u_{xx}}F 182 \end{align} 183 es ist zu beachten, dass die Prolongation für die Koeffizienten $j=xt$ und 184 $j=tt$ wegfällt, da 185 die Ableitungen nach $u_{xt}$ und $u_{tt}$ angewandt auf $F$ null sind. 186 Nachdem wir eingesetzt und abgeliten haben klammern wir nach den 187 Koeffizienten $u_{x}, u_{t}, u_{xt}$, usw. und ersetzen die gewählten 188 Redundanzen indem wir die Fokker-Planck Gleichung ausnutzen. Es eignet sich 189 ganz gut $u_{xx}$ zu nehmen, dabei stellen wir nach $u_{xx}$ um und ersetzen 190 jedes $u_{xx}, u_{xxx}$ und $u_{xxt}$ das in der Prolongation vorkommt. Nach 191 etlichen Tagen der Rechnerei und vielen vollgeschreibenen Blätter kamen wir 192 nicht auf die Richtigen Gleichungen. Angesichts dessen benutzen wir die 193 Differentialgleichungen die unser Betreuer uns per Email zukommen lies, diese 194 lauten wie gefolgt 195 \begin{align} 196 \tau_x &= 0\\ 197 \tau_u &= 0\\ 198 \xi_u &= 0\\ 199 \tau_t - 2\xi_x&=0\label{eq:einfach}\\ 200 \phi_{uu} &= 0\\ 201 \phi_t - \phi_{xx} - x\phi_x - \phi + u(\phi_u - \tau_t) &= 202 0\label{eq:2}\\ 203 \xi_t + \xi - \xi_{xx} - x\xi_x + x\tau_t + 2\phi_{xu} &= 204 0\label{eq:1}\\ 205 \end{align} 206 Aus den einfachen Gleichungen schliessen wir direkt die Abhängigkeiten der 207 Funktionen. 208 \begin{align} 209 \xi &= \xi(t,x)\\ 210 \tau &= \tau(t)\\ 211 \phi &= u \cdot a(t,x) + b(t,x) 212 \end{align} 213 Aus Gleichung \ref{eq:einfach} lässt sich ein Term von $\xi$ in Abhängigkeit 214 von $\tau_t$ ableiten 215 \begin{align} 216 \xi = \frac{x}{2} \tau_t + c(t) \label{eq:xi} 217 \end{align} 218 Weiterhin benutzen wir unsere bisherigen Lösungen um Gleichung \ref{eq:1} 219 umzuformen 220 \begin{align} 221 \tau_t +\frac{\tau_{tt}}{2} + \frac{1}{x}(c +c_t + 2a_x) = 0\label{eq:back} 222 \end{align} 223 Da $\tau$ nicht von $x$ abhängt muss $c + c_t + 2a_x \propto x$ bzw. $a_x 224 \propto x$. Wir können für $a$ also wählen 225 \begin{align} 226 a = \frac{x^2}{2}\alpha+x\beta(t)+\gamma(t) 227 \end{align} 228 Um die Differentialgleichung $c+c_t+2a_x \propto x$ nach $c$ lösen müssen wir 229 $\beta(t)$ und $\alpha(t)$ ermitteln, dazu gehen wir zurück zur Gleichung 230 \ref{eq:2} und setzen für $\phi$ 231 \begin{align} 232 u( x\cdot a_x - a_t - a_{xx} -\tau_t) = -b -b_{xx} 233 -x\cdot b_{x} + b_t. 234 \end{align} 235 Da $b = b(t,x)$, folgt dass zum einen $b$ die Fokker-Planck Gleichung erfühlt 236 und zum anderen, dass 237 \begin{align} 238 x\cdot a_x - a_t -a_{xx} -\tau_t = 0 239 \end{align} 240 setzt man für $a(t,x)$ ein sieht man direkt 241 \begin{align} 242 \alpha = c_1 e^{2t}\\ 243 \beta = c_2 e^t \;\;\;\;\text{mit}\;\; 244 c_1, c_2 \in \mathbb{R} 245 \end{align} 246 Nun können wir wieder zur Gleichung \ref{eq:back} zurückkommen. Für $c$ 247 ergibbt sich somit 248 \begin{align} 249 c = c_3 e^{-t} - c_2 e^t \;\;\;\;\text{mit}\;\; 250 c_3 \in \mathbb{R} 251 \end{align} 252 Wir setzen in \ref{eq:back} die Ergebnisse für $\alpha$ und $c$ ein 253 \begin{align} 254 \tau_t + \frac{\tau_tt}{2} = -4 c_1 e^{2t}. 255 \end{align} 256 Nun bekommen wir $\tau$ indem wir die obige differentialgleichung lösen, für 257 $\xi$ setzen wir ein in \ref{eq:xi} und für $\phi$ setzen wir in 258 \ref{eq:1} ein. Die Lösungen lauten 259 \begin{align} 260 \tau &= -c_4\frac{1}{2} e^{-2t} - c_1\frac{1}{2}e^{2t} + c_5\\ 261 \xi &= c_4\frac{x}{2} e^{-2t} - c_1\frac{x}{2}e^{2t} + c_3e^{-t} 262 +c_2e^t\\ 263 \phi &= c_1\frac{ux^2}{2} e^{2t} + c_2 uxe^t - c_4\frac{u}{2}e^{-2t} 264 +uc_5 + uc_6 + bc_7 265 \end{align} 266 Die Vektorfelder lassen sich nun anhand von den Konstanten $c_1,\dots,c_7$ 267 ablesen 268 \begin{align} 269 v_1 &= \frac{e^{2t}}{2} \partial_t - \frac{xe^{2t}}{2}\partial_x 270 +\frac{ux^2}{2} e^{2t} \partial_u\\ 271 v_2 &= e^t \partial_x +uxe^t \partial_u\\ 272 v_3 &= e^{-t}\partial_x\\ 273 v_4 &= -\frac{e^{-2t}}{2}\partial_t +\frac{xe^{-2t}}{2} \partial_x 274 -\frac{e^{-2t}}{2}\partial_u\\ 275 v_5 &= \partial_t + u\partial_u\\ 276 v_6 &= u\partial_u\\ 277 v_7 &= b\partial_u 278 \end{align} 279 280 281 282 283 284 \section{Diskussion} 285 Obwohl wir nicht viele Ergebnisse liefern konnten, haben wir aus dieser 286 Praktikumseinheit sehr nützliche Methoden mitgenommen um 287 Differentialgleichungen zu analysieren und in denen nach Symmetrien zu 288 suchen. Diese werden uns ohne Frage im weiteren verlauf unseres Studiums sehr 289 nützlich sein. Die Hürde war direkt am Anfang, die Prolongation des 290 Vektorfeldes richtig abzuleiten, auszuklammern und die Redundanzen zu 291 ersetzen. Der Gedanke schon bei der ersten Aufgabe zu scheitern hat uns nicht 292 losgelassen und wir haben die Rechnung immer wieder und wieder versucht, bis 293 schließlich die Zeit knapp wurde und die Abgabefrist näher rückte. 294 Angesichts dessen Entschuldigen wir uns bei unseren Betreuer für unsere 295 mangelhafte Leistung. 296 297 \nocite{diffg} 298 \printbibliography 299 300 \end{document}