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Author: miksa234 <milutin@popovic.xyz>
Date: Tue, 25 May 2021 10:07:48 +0200
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@@ -11,6 +11,7 @@
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\usepackage{amsthm}
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+\usepackage{braket}
\usepackage{bbm}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
@@ -31,7 +32,14 @@ Hiesmayr}
\maketitle
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
\begin{abstract}
-Some text in the abstract
+In this article we go through the lecture notes of Prof. Dr. Beatrix C.
+Hiesmayr and the exercises given to us in the Theoretical Physics Lab-Course
+in the summer semester of 2021. Precisely we look at entangled systems at high
+energies, we learn about the Bells inequality and it's violation within the world
+of quantum mechanics.
+Furthermore we learn about the density matrix approach in quantum mechanics,
+which allows us to look at the unstable particles with different decay rates
+e.g. the K-meson.
\end{abstract}
\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
@@ -254,7 +262,146 @@ according to the Big-Bang-Theory the amount
of matter and antimatter initially created is equal, but according to
experimental results CP-asymmetry means that there is an imbalance in
matter and that physics differs for particles and antiparticles.
-\subsection{Density Matrix Approach for decaying Quantum Systems}
+
+\subsection{Efficient description of decaying quantum systems}
+The neutral kaon system, is usually described by an effective Schrödinger-equation,
+which is given by the Lioville von Neumann form as:
+\begin{equation}
+ \frac{d}{dt}\rho=-iH_{eff}\rho+i\rho H^\dagger_{eff}
+\end{equation}
+where $\rho$ is a 2x2 density matrix and $H_{eff}$ non hermitian. The Hamiltonian can
+be decomposed via the Wigner-Weisskopf approximation into: $H_{eff}=M-\frac{i}{2}\Gamma$,
+with the 2x2 mass matrix $H$ and the 2x2 decay matrix $\Gamma$ both being positive and hermitian.
+What we are now concerned with, is the question, whether $H^\dagger_{eff}$
+can also be decomposed and the implications the result gives.
+Starting from the decomposed $H_{eff}$, applying the dagger, we get:
+\begin{equation}
+ H^\dagger_{eff}=M^T+\frac{i}{2}\Gamma^T
+\end{equation}
+which leads to:
+\begin{equation}
+ H^\dagger_{eff}=\left( \begin{array}{cc}
+ M_0+\frac{i}{2}\Gamma_0 & (M_{12})^*+\frac{i}{2}(\Gamma_{12})^* \\
+ (M_{12})+\frac{i}{2}(\Gamma_{12})^* & M_0+\frac{i}{2}\Gamma_0
+ \end{array}\right)
+\end{equation}
+This final matrix can now be brought into the form:
+\begin{equation}
+ \begin{pmatrix}
+ A^* & B^*r \\
+ \frac{B^*}{r} & A^*
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+with $A,B and r$ being complex numbers.
+\newline
+We now compute the Eigenvalues of this matrix, giving:
+\begin{equation}
+ (A^*-\lambda)^2-(B^*)^2 \rightarrow \lambda=A^*\pm B^*
+\end{equation}
+With this, the Eigenvectors take the form:
+\begin{equation}
+ v_1=\begin{pmatrix}
+ r^* \\
+ 1
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+and
+\begin{equation}
+ v_2=\begin{pmatrix}
+ -r^* \\
+ 1
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+We now define the matrices:
+\begin{equation}
+ R^{-1}=
+ \begin{pmatrix}
+ r^* & -r^* \\
+ 1 & 1
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+and
+\begin{equation}
+ R= \frac{1}{2r}
+ \begin{pmatrix}
+ 1 & r^* \\
+ -1 & r^*
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+and with
+\begin{equation}
+ RH^\dagger_{eff}R^{-1}=
+ \begin{pmatrix}
+ A^*+B^* & 0 \\
+ 0 & A^*-B^*
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+we finally find values for $\ket{K_S}$ and $\ket{K_L}$ which explicitly are:
+\begin{equation}
+ \ket{K_S}=\frac{1}{\sqrt{1+|r|^2}}(-r^*\ket{K^0}+\ket{\bar{K^0}})
+\end{equation}
+and
+\begin{equation}
+ \ket{K_L}=\frac{1}{1+|r|^2}(r^*\ket{K^0}-\ket{\bar{K^0}}
+\end{equation}
+We now want to calculate the overlap of these eigenvectors. We start with the
+overlap in $H_{eff}$, which is given by:
+\begin{equation}
+ \braket{K_S|K_L}=\frac{1-|r|^2}{1+|r|^2}
+\end{equation}
+We now define $\varepsilon=\frac{1-r}{1+r}\rightarrow r=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}$, which leads to:
+\begin{equation}
+ \braket{K_S|K_L}=\frac{|\varepsilon+1|^2-|\varepsilon-1|^2}{|\varepsilon+1|^2+|\varepsilon-1|^2}
+\end{equation}
+And with only considering the real part of Epsilon, we finally obtain:
+\begin{equation}
+ \braket{K_S|K_L}=\frac{2Re(\varepsilon}{|\varepsilon|^2+1})
+\end{equation}
+We now do the same for the overlap in $H^\dagger_{eff}$, and thereby obtain the result:
+\begin{equation}
+ \braket{K_S|K_L}=\frac{1-|r|^2}{1+|r|^2}=\frac{2Re(\varepsilon)}{1+|\varepsilon|^2}
+\end{equation}
+This means, that in both cases we obtain a CP-violation.
+\subsection{Charge asymmetry}
+Finally, we look at the following charge asymmetry term, given by:
+\begin{equation}
+ \delta(t)=\frac{P(K^0,t;|K^0|)-P(\bar{K^0},t;|K^0|)}{P(K^0,t;|K^0|)+P(\bar{K^0},t;|K^0|)}
+\end{equation}
+Fist we define the following ket:
+\begin{equation}
+ \ket{K^0(t)}=\frac{\sqrt{1+|\varepsilon}|^2}{\sqrt{2}(1+\varepsilon)}(\exp{(-i\lambda_st)}\ket{K_S}+\exp{(-i\lambda_Lt)}\ket{K_L}
+\end{equation}
+with: $\lambda_{S/L}=m{_S/L}-\frac{i}{2}\Gamma_{S/L}$. We now compute the probabilities $P(\bar{K^0},t;|K^0|)$ and $P(K^0,t;|K^0|)$, and obtain:
+\begin{equation}
+ P(K^0,t;|K^0|)=\frac{1}{2|1+\varepsilon|^2}|e^{-i\lambda_S t}+
+ \varepsilon e^{-i\lambda_L t}|^2
+\end{equation}
+and
+\begin{equation}
+ P(\bar{K^0},t;|K^0|)=\frac{1}{2|1-\varepsilon|^2}|
+ e^{-i\lambda_S t}-\varepsilon e^{-i\lambda_L t}|^2
+\end{equation}
+Then:
+\begin{equation}
+ \delta(t)=\frac{\frac{1}{|1+\varepsilon|^2}|
+ e^{-i\lambda_S t}+\varepsilon
+ e^{-i\lambda_L t}|^2-\frac{1}{|1-\varepsilon|^2}|
+ e^{-i\lambda_S t}-\varepsilon
+ e^{-i\lambda_L t}|^2}{\frac{1}{|1+\varepsilon|^2}|
+ e^{-i\lambda_S t}+\varepsilon
+ e^{-i\lambda_L t}|^2+\frac{1}{|1-\varepsilon|^2}|
+ e^{-i\lambda_S t}-\varepsilon
+ e^{-i\lambda_L t}|^2}
+\end{equation}
+and with the limit of $t\rightarrow 0$ we obtain the result:
+\begin{equation}
+ \delta(t)=\frac{|1-\varepsilon|^2-|1+\varepsilon|^2}{|1+\varepsilon|^2+|1-\varepsilon|^2}
+\end{equation}
+And by expansion of the leading order in $Re(\varepsilon)$, finally:
+\begin{equation}
+ \frac{|1-\varepsilon|^2-|1+\varepsilon|^2}{|1+\varepsilon|^2+|1-\varepsilon|^2}=2Re(\varepsilon)+\mathcal{O}(\varepsilon^3)
+\end{equation}
+\subsection{Density Matrix Approach Time Evolution}
In this section we describe an open quantum system with unstable particles
(e.g. K-mesons) with the Lindbad-Gorini-Kossakowsky-Sudarhasanan master equation,
an density matrix approach, by enlarging the Hilbertspace\cite{bgh}. With this
diff --git a/sesh3/src/main.bbl b/sesh3/src/main.bbl
@@ -0,0 +1,103 @@
+% $ biblatex auxiliary file $
+% $ biblatex bbl format version 3.1 $
+% Do not modify the above lines!
+%
+% This is an auxiliary file used by the 'biblatex' package.
+% This file may safely be deleted. It will be recreated by
+% biber as required.
+%
+\begingroup
+\makeatletter
+\@ifundefined{ver@biblatex.sty}
+ {\@latex@error
+ {Missing 'biblatex' package}
+ {The bibliography requires the 'biblatex' package.}
+ \aftergroup\endinput}
+ {}
+\endgroup
+
+
+\refsection{0}
+ \datalist[entry]{none/global//global/global}
+ \entry{meinel}{book}{}
+ \name{author}{1}{}{%
+ {{hash=7982bee2061edc377a221ef868cabe03}{%
+ family={Meinel},
+ familyi={M\bibinitperiod},
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+ giveni={R\bibinitperiod}}}%
+ }
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+ {Springer-Verlag}%
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+ \field{labelnamesource}{author}
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+ \true{nocite}
+ \endentry
+ \enddatalist
+\endrefsection
+\endinput
+
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Binary files differ.
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@@ -0,0 +1,85 @@
+<?xml version="1.0" standalone="yes"?>
+<!-- logreq request file -->
+<!-- logreq version 1.0 / dtd version 1.0 -->
+<!-- Do not edit this file! -->
+<!DOCTYPE requests [
+ <!ELEMENT requests (internal | external)*>
+ <!ELEMENT internal (generic, (provides | requires)*)>
+ <!ELEMENT external (generic, cmdline?, input?, output?, (provides | requires)*)>
+ <!ELEMENT cmdline (binary, (option | infile | outfile)*)>
+ <!ELEMENT input (file)+>
+ <!ELEMENT output (file)+>
+ <!ELEMENT provides (file)+>
+ <!ELEMENT requires (file)+>
+ <!ELEMENT generic (#PCDATA)>
+ <!ELEMENT binary (#PCDATA)>
+ <!ELEMENT option (#PCDATA)>
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+ <!ELEMENT file (#PCDATA)>
+ <!ATTLIST requests
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+ >
+ <!ATTLIST internal
+ package CDATA #REQUIRED
+ priority (9) #REQUIRED
+ active (0 | 1) #REQUIRED
+ >
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+ type (static | dynamic | editable) #REQUIRED
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+ type (static | dynamic | editable) #REQUIRED
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+ type CDATA #IMPLIED
+ >
+]>
+<requests version="1.0">
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@@ -0,0 +1,390 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
+
+\usepackage[T1]{fontenc}
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+
+\usepackage{mathptmx}
+
+\usepackage[a4paper, total={6in, 8in}]{geometry}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage[shortlabels]{enumitem}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
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+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{float}
+\usepackage[colorlinks=true,naturalnames=true,plainpages=false,pdfpagelabels=true]{hyperref}
+\usepackage[parfill]{parskip}
+\usepackage[backend=biber, sorting=none]{biblatex}
+\addbibresource{uni.bib}
+\pagestyle{myheadings}
+\markright{Popovic, Vogel\hfill Unbiased Fitting \hfill}
+
+\title{Universität Wien\\ Fakultät für Physik\\
+\vspace{1.25cm}Laborpraktikum Theoretische Physik 2021S \\
+}
+\author{Milutin Popovic \& Tim Vogel \vspace{1cm}\\ Betreuer: Dr. Stefan
+Palenta}
+\date{May the 25th, 2021}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
+\begin{abstract}
+\end{abstract}
+\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
+
+\tableofcontents
+\section{Kugelkoordinaten in $\mathbb{R}^3$}
+Im euklidischen $\mathbb{R}^3$ Raum werden die Basisvektoren mit partiellen
+Ableitungen identifiziert. In kartesischen Koordinaten wird $e_x,\ e_y, e_z$
+mit $\partial _x,\ \partial _y,\ \partial _z$ identifiziert. Der
+Basisvektor $e_x$ z.B. gibt an in welche Richtung sich ein Punkt $P$
+verschiebt, wenn man man die Koordinate $x$ um ein $dx$ vergrößert. Die
+Koordinatendifferentiale sind dann $dx,\ dy,\ dz$ und die in der euklidischen
+Metrik gilt dann $dx^i(\partial _j) = \partial_j x^i = \delta^i_j$.
+
+Das selbe Spiel kann man mit Kugelkoordinaten machen
+\begin{align}
+ x^i =
+ \begin{pmatrix}
+ r\sin\theta\cos\phi\\
+ r\sin\theta\sin\phi\\
+ r\cos\theta
+ \end{pmatrix}
+\end{align}
+Die Kugelkoordinaten Basisvektoren $\partial _r,\ \partial _\phi,\ \partial
+_\theta$ werden durch die Kettenregel berechnet
+\begin{align}
+ \partial _r &= \partial _r\partial^i\partial_i \\
+ &= \sin\theta\cos\phi \partial_x + \sin\theta\sin\phi \partial_y+
+ \cos\theta \partial_z\\
+ \nonumber\\
+ \partial_\theta &= \partial_\theta \partial^i \partial_i \\
+ &=-r\cos\theta \sin\phi \partial_x + r\cos\theta \sin\phi \partial
+ _y-r\sin\theta \partial_z\\
+ \nonumber\\
+ \partial_\phi&= \partial_\phi \partial^i \partial_i \\
+ &=-r\sin\theta\sin\phi\partial_x + r\sin\theta\cos\phi \partial_y
+\end{align}
+Die Einheitsvektoren sind die normierten Basisvektoren
+\begin{align}
+ e_r = \partial_r;\;\;\; e_\theta = \frac{1}{r}\partial_\theta;\;\;\;
+ e_\phi = \frac{1}{r\sin\phi}\partial _\phi.
+\end{align}
+Wichtiger einschub ist, dass die Lie-Klammer $[e_r, e_\phi]$ nicht
+verschwindet.
+\begin{align}
+ [e_r, e_\theta]&=e_r e_\theta - e_\theta e_r = \partial_r
+ \frac{1}{r}\partial_\theta - \frac{1}{r}\partial_\theta\partial_r =\\
+ &=-\frac{1}{r^2}\partial_\theta + \frac{1}{r} \partial_r\partial_\theta
+ -\frac{1}{r}\partial_\theta\partial_r=\\
+ &=\frac{1}{r}([\partial_r, \partial_\theta] - \partial_\theta)
+\end{align}
+was bedeutet, dass $e_r$ nicht mit $e_\theta$ kommutiert. Damit die
+Einheitsvektoren eine Koordinatenbasis bilden können müssen sie linear
+unabhängig voneinander sein, da sie aber eine ncht-triviale Lie-Klammer
+besitzen, sind sie nicht linear unabhängig und können somit keine
+Koordinatenbasis sein kann.
+
+Die Metrik $g_{ij}$ in Kugelkoordinaten ist verschwindend für alle
+$i\neq j$, sie kann sie ausgerechnet werden durch z.B. $g_{rr}
+=\bar{g}(\partial_r, \partial_r)$.
+\begin{align}
+ g_{rr} &= (\sin\theta\cos\phi e_x + \sin\theta\sin\phi e_y + \cos\theta e_z)^2\\
+ &= 1\\
+ \nonumber\\
+ g_{\phi\phi} &= (-r\sin\theta\sin\phi e_x + r\cos\phi\sin\phi
+ e_y)^2=\\
+ &=r^2\sin^2\theta\sin^2\phi + r^2\sin^2\phi \\
+ &=r^2 \sin^2\theta\\
+ \nonumber\\
+ g_{\theta\theta} &= (r\cos\theta\sin\phi e_x + r\cos\phi\sin\phi e_\phi -
+ r\sin e_z)^2 \\
+ &= r^2\\
+ \nonumber\\
+ (g_{ij}) &=
+ \begin{pmatrix}
+ 1&0&0\\
+ 0&r^2&0\\
+ 0&0&r^2\sin^2\theta
+ \end{pmatrix}
+\end{align}
+Weiteres können wir die kovariante Ableitung $\nabla_{\partial _a}$ (kurz
+$\nabla _a$ eines
+Vektorfeldes $X = X^b\partial _b$ entlang
+$\partial _a$ betrachten, dabei tauchen die Cristoffel symbole
+$\Gamma^c_{ab}$ auf.
+\begin{align}
+ \nabla_{\partial_a}(X^b\partial _b) &= (\nabla_{\partial_b}X^b)\partial_b
+ + X^b(\nabla_{\partial_a}\partial_b) =\\
+ &= (\nabla_{\partial_b}X^b)\partial_b + X^b\Gamma^c_{ab} \partial_c
+\end{align}
+Die Christoffelsymbole sind gegeben durch die Metrikkomponenten.
+\begin{align}
+ \Gamma^{c}_{ab} = \frac{1}{2} g^{ce}(\partial_a g_{cb} + \partial_b
+ g_{ac} - \partial_c g_{ab}).
+\end{align}
+Offensichtlich verschwinden die Christoffelsymbole bzüglich der karthesischen
+Koordinatenbasis, da $g_{ij} = \delta_{ij}$ constant ist. Nun berechnen wir
+die Crhistoffelsymbole $\Gamma^{d}_{\theta\phi}$ und $\Gamma^{d}_{\phi\phi}$
+bezüglich den Kugelkoordinaten ($d \in \{r, \theta, \phi\}$).
+\begin{align}
+\Gamma^{r}_{\theta\phi}&=\frac{1}{2}g^{rr}(\partial_\theta g_{\phi r}
++\partial_\phi g_{\theta r} - \partial_r g_{\phi\theta}) = 0\\
+ \Gamma^{r}_{\phi\phi} &=-\frac{1}{2}g^{rr}\partial_r g_{\phi\phi}=
+ -r\sin^\theta\\
+ \Gamma^{\theta}_{\theta\phi} &= \frac{1}{2}g^{\theta\theta}\partial_\phi
+ g_{\theta\theta} = 0\\
+ \Gamma^{\theta}_{\phi\phi} &= -\frac{1}{2}g^{\theta\theta}\partial_\theta
+ g_{\phi\phi} = -2\sin2\theta\\
+ \Gamma^{\phi}_{\theta\phi} &= \frac{1}{2}g^{\phi\phi}\partial_\theta
+ g_{\phi\phi} = \cot\theta\\
+ \Gamma^{\phi}_{\phi\phi} &= \frac{1}{2}g^{\phi\phi}\partial_\phi
+ g_{\phi\phi} = 0.
+\end{align}
+Die Christoffelsymbole sind symmetrisch bezüglich der Vertauschung der
+kovarianten Indizes, d.h.
+\begin{align}
+ \Gamma^r_{\phi\theta} &= 0\\
+ \Gamma^\theta_{\phi\theta} &= 0 \\
+ \Gamma^\phi_{\phi\theta} & = \frac{1}{2} g^{\phi\phi} \partial_\theta
+ g_{\phi\phi} = \cot\phi
+\end{align}
+\section{Differentialoperatoren}
+In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist eine allgemeine Metrik gegeben,
+eine symmetrische $n\ x\ n$ Matrix $g_{ab}$. Mit der inversen Metrik $g^{ab}$
+ergibt sich die triviale identität $g_{ab}g^{bc} = \delta ^c_a$. Mithilfe der
+Determinante $g := \det(g_{ab})$ und der Cramer'schen Regel
+kann auf die inverse Matrix umgeformt
+werden.
+\begin{align}
+ g = g_{ab}\ \text{adj}(g_{ab})
+\end{align}
+Differentiert man diese Gleichung auf biden seiten mit
+$\frac{\partial}{\partial g_{ij}}$
+\begin{align}
+ &\frac{\partial g }{\partial g_{ij}} = \delta_{ab}^{ij}\
+ \text{adj}(g_{ab}) = \text{adj}(g_{ij}) = g^{ab} \cdot g \\
+ \nonumber \\
+ &\Rightarrow \frac{1}{g} \frac{\partial g}{\partial g_{ij}} =
+ g^{ab}.
+\end{align}
+
+Als nächstes zeigen wir eine Relation für Christoffelsymbole $\Gamma
+^{\mu}_{\mu\nu}$ bezüglich einer allgemeinen Metrik.
+
+\begin{align}
+ \Gamma^{\mu}_{\mu\nu} &= \frac{1}{2} g^{\mu\varrho}(\partial _\nu
+ g_{\mu\nu} +\partial_\mu g_{\nu\varrho} - \partial _\varrho
+ g_{\mu\nu})=\\
+ &= \frac{1}{2} g^{\mu\varrho} \partial_\nu g_{\mu\varrho}.
+\end{align}
+Betrachtet man die Ableitung von $g$ nach $\partial _\nu$ bekommt man
+\begin{align}
+ &\partial _\nu g = g g^{\mu\varrho} \partial_nu g_{\mu\varrho} \\
+ &\Rightarrow \frac{\partial _\nu g}{g} = g^{\mu\varrho}\partial_\nu
+ g_{\mu\varrho}.
+\end{align}
+Man kann die wurzel von $g$, $\sqrt{g}$ betrachten dann kommt ein faktor von
+$\frac{1}{2}$ durch die Kettenregel und es ergibt sich die allgemeine
+Relation
+\begin{align}
+ \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_\nu \sqrt{g} = g^{\mu\varrho}
+ \partial _\nu g_{\mu\varrho} = \Gamma ^{\mu}_{\mu\nu}.
+\end{align}
+Wetiteres zeigen wir eine weitere relation zur kovarianten Ableitung eines
+Vektorfeldes $\nabla_a A^a$
+\beign{align}
+\nabla_a A^a = \frac{1}{\sqrt{g}} \partial _a (\sqrt{g} A^a).
+\end{align}
+Nun mithilfe von dem Levi-Civita-Zusammenhang
+\begin{align}
+ \nabla _a A^a = \partial _a A^a + \Gamma^a_{ac} A^a
+\end{align}
+um das Kristoffelsymbol auszurechen benutzen wir die allgemein gültige
+Relation
+\begin{align}
+ \nabla _a A^a &= \partial _a A^a + (\frac{1}{\sqrt{g}}) \partial _a
+ \sqrt{g}) A^a = \\
+ &= \partial _a A^a + \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_a(\sqrt{g} A^a) -
+ \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{g}} \partial _a A^a = \\
+ &= \frac{1}{\sqrt{g}} \partial _a ( \sqrt{g} A^a)
+\end{align}
+Das selbe kann man mit eine antisymetrischen $(2, 0)$ tensor $F^{ab} = -
+F^{ba}$
+\begin{align}
+ \nabla _{a} F^{ab} = \partial_a F^{ab} + \Gamma^{a}_{ac} F^{cb}
+ \Gamma^{b}_{ac} F^{ac}
+\end{align}
+wobei hier das letztere Christoffelsymbol $\Gamma^{b}_{ac}$ verschwindet
+wegen der antisymmetrie des Tensors $F^{ac}$. Weiterhin schreiben wir
+wieder die allgemeine Relation für $\Gamma ^{a}_{ac}$ und wenden
+die umgekehrte Produktregel an, somit kommen wir auf
+\begin{align}
+ \nabla_a F^{ab} = \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_c(\sqrt{g}F^{ca})
+\end{align}
+In der Elektrodyamik ist $F^{ab}$ der Maxwelltensor und die oberen
+Gleichungen representieren die Maxwellgleichungen.
+\begin{align}
+ \nabla_a F^{ab} = J^b
+\end{align}
+Die kontinuitätsgleichung $\nabla_b J^b = 0$ kann leicht gezeigt werden
+\begin{align}
+ \nabla_b \nabla_a F^{ab} &= \nabla_b(\frac{1}{\sqrt{g}}
+ \partial_a(\sqrt{g}F^{ab})) =\\
+ &= \partial_b \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_a(\sqrt{g}F^{ab})+
+ \frac{1}{\sqrt{g}}
+ \partial_b (\sqrt{g}\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_a(\sqrt{g} F^{ab}))=\\
+ &=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_a F^{ab}\partial_b
+ \sqrt{g} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_a F^{ab} \partial_b
+ \sqrt{g} \\
+ &= 0
+\end{align}
+Weiterhin zeigen wir eine weitere Relation, dabei wenden wir zwei mal die
+kovariante Ableitung auf ein Skalarfeld $U$.
+\begin{align}
+ g^{ab}\nabla_a\nabla_b U &= \Delta U = \nabla_a \partial^a U =\\
+ &= \partial_a \partial^a U + \Gamma^{b}_{ac} \partial^a U =\\
+ &= \partial_a\partial^a U
+ \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_a(\sqrt{g}\partial^a U) = \\
+ &= \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_a(\sqrt{g} \partial^a U)
+\end{align}
+\section{Schwarzschild Metic}
+Eine Kugelsymmetrische Raumzeit kann durch die Schwarzschild-Koordinaten
+beschrieben werden $\{ct, r, \vartheta \varphi\}$, für das Linienelemnt haben
+wir den folgenden Asatz gegeben
+\begin{align}
+ ds^2 = -e^\nu c^2 d^2t + e^\lambda d^2r + r^2(d^2\vartheta
+ \sin^2\vartheta d^2\varphi).
+\end{align}
+wobei hier $\nu = \nu(t, r)$ und $\lambda = \lambda(t, r)$, funktionen sind
+die noch bestimmt werden. Mithilfe dieses Linienelements
+können wir direkt die Metrik ablesen. Weiterhin setzen wir $c=1$ und
+schreiben
+\begin{align}
+ &ds^2 = g_{00} dt^2 + g_{11} dr^2 + g_{22} d^2\vartheta + g_{33}
+ d^2\varphi
+ \nonumber \\
+ &\Rightarrow (g_{ij}) =
+ \begin{pmatrix}
+ -e^\nu & 0 & 0 & 0 \\
+ 0 & e^\lambda & 0 & 0 \\
+ 0 & 0 & r^2 & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & r^2\sin^2\vartheta \\
+ \end{pmatrix}
+\end{align}
+Alle von null verschiedenen Christoffelsymbole lassen sich leicht berechnen,
+da die meisten koeffizienten wegfallen aufgrund der diagonalen Metrik
+\begin{align}
+ \Gamma^{0}_{00} &= \frac{1}{2} g^{00}\partial_0 g_{00} = \frac{1}{2}
+ \dot{\nu}\\
+ \Gamma^{0}_{01} &= \frac{1}{2} g^{00}\partial_1 g_{00} = \frac{1}{2}
+ \nu'\\
+ \Gamma^{0}_{11} &= -\frac{1}{2} g^{00}\partial_0 g_{11} = \frac{1}{2}
+ e^{\lambda - \nu} \dot{\lambda}\\
+ \Gamma^{1}_{00} &= -\frac{1}{2} g^{11}\partial_1 g_{00} = \frac{1}{2}
+ e^{\nu -\lambda} \nu'\\
+ \Gamma^{1}_{10} &= \frac{1}{2} g^{11}\partial_0 g_{11} =
+ \frac{\dot{\lambda}}{2}\\
+ \Gamma^1_{22} &= -\frac{1}{2} g^{11} \partial_1 g_{22} = -e^{-\lambda}
+ r\\
+ \Gamma^{2}_{12} &= \frac{1}{2} g^{22} \partial_1 g_{22} = r\\
+ \Gamma^{2}_{33} &= \frac{1}{2} g^{22} \partial_2 g_{33} =
+ \frac{1}{2}\sin(2\vartheta)\\
+ \Gamma^{3}_{11} &= \frac{1}{2} g^{33} \partial_1 g_{33} = \frac{1}{r}\\
+ \Gamma^{3}_{23} &= \frac{1}{2} g^{33}\partial_2 g_{33} = \cot\vartheta
+\end{align}
+Nun können wir den Ricci Tensor $R_{ab}$ ausrechnen
+\begin{align}
+ R_{ab}:=R^c_{abc} = \Gamma^c_{ab,c}-\Gamma^c_{ac, b} + \Gamma^c_{ab}
+ \Gamma^d_{ad} -\Gamma^c_{db}\Gamma^d_{ac}.
+\end{align}
+Für die Indizes $00$ zeigen wir
+\begin{align}
+ R_{00} &= \Gamma^c_{00,c} - \Gamma^c_{0c,0}+\Gamma^c_{dc}\Gamma^d_{00} -
+ \Gamma^c_{d0}\Gamma^d_{0c} =\\
+ &=\Gamma^0_{00,0} + \Gamma^1_{00,1} - \Gamma^0_{00} + \Gamma^1_{01,0}
+ \Gamma^c_{0c}\Gamma^{0}_{00} - \Gamma^c_{00}\Gamma^0_{0c} - \Gamma^c_{10}
+ \Gamma^1_{0c} =\\
+ &= \Gamma^1_{00,1} - \Gamma^1_{01,0} + \Gamma^1_{01}\Gamma^0_{00}
+ \Gamma^1_{11}\Gamma^1_{00} - \Gamma^1_{00}\Gamma^0_{01} - \Gamma^1_{10}
+ \Gamma^1_{01} = \\
+ &=\frac{1}{2}e^{\lambda-\nu}(\frac{\nu'}{r} + \nu'')
+ -\frac{1}{2}\ddot{\lambda} + \frac{1}{4} \dot{\lambda}\dot{\nu}
+ \frac{1}{4}e^{\lambda-\nu} \nu'\lambda' - \frac{1}{4}e^{\lambda-\nu}
+ \nu'\nu' - \frac{1}{4} \dot{\lambda}\dot{\lambda} = \\
+ &=\frac{1}{2} e^{\lambda -\nu} ( \nu'' -\frac{1}{2}(\lambda' - \nu')
+ \frac{\nu'}{r}) -\frac{1}{2} \ddot{\lambda} + \frac{1}{4}\dot{\lambda}(
+ \dot{\nu} - \dot{\lambda}).
+\end{align}
+Die anderen nichtrivialen koeffizienten lauten
+\begin{align}
+ R_{11} &= e^{\lambda-\nu}
+ (\frac{1}{2}\ddot{\lambda}+\frac{1}{4}\dot{\lambda}(\dot{\lambda}-
+ \dot{\nu}))
+ -\frac{1}{4} \nu'(\lambda' - \nu') + \frac{\lambda'}{r}\\
+ R_{22} &= 1-e^{-\lambda}(1+\frac{1}{2r} (\nu'-\lambda'))\\
+ R_{23} &= \sin^2\vartheta R_{22}\\
+ R_{01} &= R_{10} = \frac{\dot{\lambda}}{r}.
+\end{align}
+Im Vakuum besagen die Einsteinschen Feldgleicungen, dass $R_{ab} = 0$ für
+alle $a, b$, somit folg sofort aus $R_{01} = 0$ dass $\lambda = \lambda(r)$.
+Die Funktion $\lambda$ hängt nur vom Abstand ab. Differentiert man $R_{22}$
+nach der $0$ Koordinate so erhält man ein Ergebniss für $\nu$
+\begin{align}
+ &\partial_0 R_{22} = -e^{-\lambda} \dot{\lambda} ( 1+ \frac{r}{2}(\nu' -
+ \lambda')) + e^{-\lambda} \frac{r}{2}\partial_0 \nu' = 0\\
+ \nonumber\\
+ &\Rightarrow \partial_0\partial_1 \nu = \partial_1\partial_0 = 0\\
+ &\Rightarrow \partial_0 \nu =0 \Leftrightarrow \nu = \nu(r)
+\end{align}
+weiterhin zeigen wir, dass $\lambda = -\nu$ indem wir folgendes rechnen
+\begin{aling}
+ &R_{00} + e^{\lambda-\nu} R_11 = 0\\
+ &\frac{\lambda'}{r} + \frac{\nu'}{r} = 0 \Righarrow \lambda = -\nu.
+\end{aling}
+Aus $R_{22} = 0$ und der obigen Relation lässt sich eine
+Differentialgleichung für $\nu$ aufstellen
+\begin{align}
+ R_{22} &= 1 - e^\nu (1 + \frac{1}{2}r(\nu'+ \nu')) = \\
+ &= 1 - e^\nu (1+ \nu' r) = 0.
+\end{align}
+Diese kann man leicht dur separation der Variablen lösen
+\begin{align}
+ &\int \frac{d\nu}{e^{-\nu} -1} = \int \frac{1}{r} dr\\
+ &\Rightarrow e^\nu = 1-\frac{r_S}{r} \;\;\;\; (r_S\in \mathbb{R})
+\end{align}
+\section{Inkompressibler Relativistischer Stern}
+Wir berechnen nun der Druckverlauf eines relativistischen Sterns mit
+konstanter Massedichte $\mu$ mithilfe der TOV-Gleichung. Der Druck and der
+Sternoberfläche ist $p(r_0) =0$. In der Rechnung substituieren wir
+$P = \kappa p$, $A = \frac{8\pi\mu}{3c^2}$ und $x=r^2 \Righarrow dr=
+\frac{dx}{2r}$. Weiters ist zu beachten, das $\mu = \text{const}$ und somit
+die Masse des Sterns gegeben ist durch
+\begin{align}
+ m(r) = m = 4pi \int_0^r \mu \tilde{r}^2 d\tilde{r} =\frac{4\pi}{3}\mu r^3
+\end{align}
+Wir kommen auf die folgende Differentialgleichung.
+\begin{align}
+ \frac{dP}{dx} = -\frac{(3A+P)(A+P)}{(1-Ax)}.
+\end{align}
+Diese lässt sich durch Separation der Variablen lösen und mithilfe von
+$p(r_0) = 0$ bekommen wir die Lösung
+\begin{align}
+ P =
+\end{align}
+
+
+
+
+
+
+
+\nocite{meinel}
+\nocite{piotr}
+\nocite{oloff}
+\printbibliography
+\end{document}
diff --git a/sesh3/src/uni.bib b/sesh3/src/uni.bib
@@ -0,0 +1,23 @@
+@book{oloff,
+ title={Geometrie der Raumzeit, Eine mathematische Einführung},
+ ISBN={ISBN 978-3-662-56736-4},
+ publisher={Springer-Verlag},
+ author={Reiner Oloff},
+ year={2018}
+}
+
+@book{piotr,
+ title={Elements of General Relativity},
+ ISBN={978-3-030-28415-2},
+ publisher={Birkhäuser},
+ author={Piotr Chruściel},
+ year={2019}
+}
+
+@book{meinel,
+ title={Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie für Bachelorstudenten},
+ ISBN={978-3-662-58966-3},
+ publisher={Springer-Verlag},
+ author={Reinhard Meinel},
+ year={2019}
+}
